De
quelques
notions
fondamentales de géométrie et de trigonométrie
indispensables pour la démonstration du théorème fondamental de la navigation
astronomique
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Ce qui suit présente les notions fondamentales de géométrie et de
trigonométrie qui sont nécessaires pour démontrer ce que j'appelle le
'théorème fondamental de la navigation astronomique', cette relation
qui donne la hauteur angulaire du soleil au dessus de l'horizon à
partir de
- la latitude de l'observateur,
- la hauteur angulaire du soleil par rapport à l'équateur et
- l'heure de l'observation (mais exprimée sous la forme d'un angle)
et qui permet de se situer en tout point de la terre à l'aide d'un
sextant, d'une montre précise et d'un éphéméride (table numérique
annuelle) donnant la hauteur du soleil au dessus de l'équateur pour
chaque jour d'une année.
Trois décennies d'enseignement dans une faculté des lettres, notamment
en traitement numérique du signal de parole (dont la transformée de
Fourier) et programmation logique en Prolog, m'ont amplement démontré que
les difficultés proviennent presque toujours d'une connaissance
insuffisante de notions dites de base, ou élémentaires, présumées à
tort connues et assimilées par l'auditoire. Construire sur du sable est
une perte de temps pour tous...
On ne s'étonnera donc pas que je présente ici avec autant de soin que
je le puis des objets mathématiques aussi simples que la notion d'angle
ou de triangle rectangle, ou des théorèmes comme celui de la somme des
angles d'un triangle.
Ce temps passé à présenter ces 'humbles' notions n'a jamais été perdu,
loin de là. Il m'a permis de mener la quasi-totalité des d'étudiant(e)s
qui m'étaient confiés au succès, un public travailleur, exigeant et
attentif, se révoltant sans hésitation devant les obscurités et
imprécisions... J'ai été heureux d'apaiser en partie chez beaucoup les
traumatismes de leur scolarité antérieure, et de leur démontrer qu'ils
avaient les capacités à accéder à (une partie raisonnable de) la
connaissance scientifique... Incorrigible naïf, je rève toujours de
citoyens munis des deux cultures dont parlait C.P. Snow il y a longtemps déjà...
1
- La
mesure des angles
Soit
un cercle de centre O dont
le rayon R vaut une unité de longueur (donc R = 1).
Traçons
deux
rayons
OA et OB quelconques. S'ils ne sont pas confondus,
ces deux rayons divisent le cercle en deux arcs
(= portions) de cercle
(en général inégaux, sauf si
les deux rayons forment un diamètre) dont la somme est le cercle
complet (Fig. 1).
Le
petit arc est ici AB et le grand BA : on conviendra
de
nommer ces arcs en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une
montre.
La disposition des rayons OA et OB fait apparaître
deux angles de sommet O. On nommera ces deux angles AOB et BOA.
Les
angles sont désignés par un triplet de lettres majuscules indiquant un
point de départ, le sommet, et un point
d'arrivée.
Dans
l'idéal, il faudrait placer un "chapeau pointu" sur le triplet de
lettres, comme ça,,
mais
le code HTML ne le permet pas.
La
mesure
de ces
deux angles
est, par définition, les longueurs
des arcs AB et BA.
Par
définition donc, l'angle
AOB
de la fig. 1 a pour mesure δ, numériquement égale à
d, la longueur de
l'arc AB
Il
ne faut pas confondre l'angle, qui est un 'objet' mathématique
résultant de la disposition particulière de deux droites convergentes dans l'espace,
avec sa mesure δ,
qui est un
nombre.
Fig. 1
Dans
certains cas, il est utile de définir un mesure d'angle comme positive
ou négative. On les distingue en fonction du sens du parcours de l'arc
de cercle.
Par convention, le sens positif de
parcours
le long du cercle est le sens inverse de la rotation des aiguilles
d'une montre (cf la
flèche de la fig. 1). Dans
notre exemple, la mesure de l'angle BOA par exemple sera négative car
on mesure d
de B vers A, dans le sens des aiguilles d'une montre, d'où
δ = - d.
La notion de mesure négative d'un d'angle n'est pas utile dans la géométrie des
triangles, mais essentielle dans les relations établies à partir d'un
cercle, comme les fonctions sinus et cosinus.
"Zoomer"
Tout
le monde a aujourd'hui une expérience personnelle du zoom
photographique (ou de l'agrandissement ou réduction appliqué
par un photocopieur).
Il est clair que la "forme" d'un objet ne change
pas lorsqu'on zoome : un cercle reste un cercle, un carré un carré...
En fait, quand
on 'zoome' sur une figure, toutes
les longueurs
sont multipliées par le même facteur, quelle
que soit son orientation, verticale, horizontale ou oblique.
Pour connaître le "facteur de
zoom", il
suffit de mesurer le rapport de longueur entre deux
segments
de
droite homologues (= qui se correspondent d'une figure à l'autre), l'un
sur la
figure originale et l'autre sur la figure zoomée. Ce facteur
s'applique à toutes
les autres longueurs, mesurées sur des droites
ou des courbes.
Les angles, eux, ne changent pas (si
vous zoomez d'un facteur 2, les angles ne doublent certainement pas
!!!).
Les surfaces sont proportionnelles au
carré du facteur de zoom, et les volumes au cube.
Ce concept
de 'zoom', s'il est
bien trop vague pour être mathématiquement satisfaisant, est suffisant (j'espère) ici.
Nous préciserons plus loin la condition que doit
remplir
un triangle pour être semblable à (= avoir la même forme qu')
un
autre.
Appliquons
ce concept
de zoom à
notre cercle de rayon unité (Fig.
2): si le
rayon passe de 1 à
R, le facteur de zoom est R (car R = 1*R). L'arc de cercle AB
subira la même augmentation : il vaudra D = Rd.
Mais la mesure des angles doit rester la même !
Or la mesure δ
de l'angle
AOB restera
la même si on la définit par D/R,
car D/R = Rd
/ R = d.
Cette définition de la mesure
d'un angle comme le rapport de
la longueur
de l'arc intercepté par deux rayons au rayon du cercle
est équivalente à celle donnée plus haut (mesure d'un angle
comme longueur de l'arc intercepté), car le rayon avait été posé égal à
1 !
Fig. 2
2 - Le radian
L'unité
d'angle
mathématique est le radian
(rad). C'est par définition l'angle qui correspond à un arc de
cercle de
longueur égale à un rayon. Si
le rayon
vaut 1, comme à la fig. 3, l'arc de cercle vaut 1. On remarque que
cette définition n'implique aucun 'être mathématique" qui ne soit déjà
disponible, et c'est pourquoi les mathématiciens l'utilisent.
Fig. 3
3 - π
ou 180° ?
Depuis
2250 ans, on connaît une technique, décrite par Archimède,
permettant d'établir que la demi-circonférence d'un cercle de
rayon 1 a pour longueur
π = 3,14159...(cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi
)
La mesure de l'angle correspondant est donc égal à π (on n'écrit pas πrad,
l'unité restant implicite)
Tout le monde sait que l'unité
pratique de
mesure des angles est le degré
(°):
- Un angle interceptant un quart de
circonférence ( π /2)
vaut 90°,
les rayons étant dit dans ce cas
perpendiculaires.
Un tel angle
est dit droit.
On remarque que cette valeur numérique
en degré est arbitraire, sans justification autre que
d'être issue d'un usage très ancien (Babylone) et d'être
pratique.
- Un angle interceptant une
demi-circonférence
(π)
vaut 180°.
Les deux rayons forment un diamètre. Un tel angle est dit plat.
- Si les deux rayons
sont confondues, l'un des angles est nul (0 ou 0°) et l'autre vaut 2 π
ou 360°, qui est la mesure
d'angle d'un "tour complet du cercle"
Les
démonstrations mathématiques utilisent le radian, les mesures concrètes
le ° : un sextant et un compas sont gradués en °, et non en radians !
La
valeur d'un radian exprimée en degrés n'a aucun intérêt pratique : la
voici pourtant. Une demi-circonférence vaut 180° ou
π radians. Donc 1
radian = 180°/ π
= 57,295779...°
Mais
il est utile de savoir convertir une valeur en radians en sa valeur en
degrés et réciproquement, les fonctions trigonométriques des tableurs
exigeant (souvent) des angles en radians :
x° = x rad
* 180° / π
(j'écris x rad
pour
plus de clarté)
(on
vérifie ? Si x rad
= π, x° = π * 180 °/ π est bien égal à
180° - Cet exemple permet de retrouver la formule)
x rad
= x° * π / 180
(on vérifie ? Si x° = 180, x rad
= 180* π / 180 est bien égal
à π - Cet
exemple permet de retrouver la formule)
Sur
beaucoup de tableurs la fonction (sans argument) PI( )
renvoie π
(Pour vous
détendre, consultez
maintenant l'article 'grade' de Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Grade_(angle)
et courez chercher une carte de l'IGN)
4 -
Triangle rectangle
et
quelconque
Un
triangle
dit rectangle
possède deux côtés formant un angle droit (90°ou π /2). Le grand côté,
opposé à
l'angle droit, est appelé hypoténuse (Fig. 4)
Dans un triangle
quelconque, les trois angles sont différents, aucun ne
valant 90°.
Fig. 4
Conventions de notation
Les
sommets du triangle
sont (très souvent) désignés par des lettres majuscules : A, B, C
....(Fig. 4).
On nomme un triangle en citant les sommets. On peut commencer par un
sommet quelconque : le triangle ABC (ou CBA, ou BCA ou ...) Dans
l'idéal, pour ne pas confondre ce triplet de lettres avec la notation
d'un angle (qui devrait porter un "chapeau pointu"), il faudrait placer
un petit triangle sur le triplet, comme ça:
Rappelons que les
angles sont désignés par un triplet de lettres majuscules indiquant un
point de départ, le sommet, et un point
d'arrivée : l'angle CAB est l'angle formé
par le segment de droite CA et le segment BA, qui se
rencontrent en A. (Il ne faut pas dire par exemple la
droite CA pour le segment de droite CA : la droite CA est une droite
d'extension (potentiellement)
infinie contenant les points C et A, ce qui détermine sa direction,
alors que le segment de droite CA est la portion de droite dont les
extrémités sont A et C, pas exactement la même chose)
Les valeurs (mesures) des angles sont
désignées par des lettres grecques : α,
β, γ...
Les
lettres minuscules (a, b, c...) désignent
la mesure (longueur) des côtés: a est la distance entre C et
B : c'est la mesure du côté qui
fait face (= est opposé) au sommet A de l'angle CAB; de même pour b
(opposé au sommet B ou à l'angle ABC)....
En géométrie, les angles
n'ont pas besoin d'être orientés. Donc l'angle
CAB de mesure α ne se distingue pas de l'angle BAC, aussi de mesure
α. De
même le segment de droite AB ne se distingue pas du segment BA. Mais
cela n'est pas vrai (en général) en trigonométrie.
4 - La somme
des angles d'un
triangle vaut
π
Considérons
d'abord deux droites parallèles et une droite qui les coupe, appelée sécante.
(Fig. 5)
Fig. 5
Euclide
a "démontré" (en géométrie euclidienne, là où deux
parallèles ne se
coupent pas) l'égalité des angles dits
"alternes-internes" (en rouge)
et
des angles dits "alternes-externes" (en bleu). Chaque angle d'un couple
rouge-bleu (angles dits "opposés par le sommet") sont également égaux.
Les angles dits "parallèles" (en vert) sont également égaux.
Considérons
maintenant un triangle ABC quelconque dont les angles sont
α, β et γ.
Comme Pythagore,
traçons une droite DD' parallèle à AB passant par C (Fig. 6)
Fig. 6
Les angles D'CB et
CBA (= β ) sont égaux car
alternes-internes (CB coupe
AB et DD' qui sont parallèles)
Les angles CAB
et DCA (= α ) sont égaux car
alternes-internes.
La somme α + γ
+ β + forme l'angle plat DCD'.
Donc
α + β + γ
= π
La somme des deux
angles non droits
d'un
triangle rectangle vaut π/2
Dans un triangle
rectangle,
l'un des
angles vaut π/2, donc la somme des deux autres vaut
également π/2 : Sur la figure 7, comme α = π/2, alors β
+ γ =
π/2. On a évidemment la relation β = π/2 -
γ et γ =
π/2 - β.
Fig. 7
Fig. 8
Triangles
semblables et
égaux
Deux triangles sont semblables
( = ont la
même forme )
s'ils ont deux
angles homologues égaux: le troisième l'est
obligatoirement car la somme
vaut π.
Ils ne diffèrent que par un coefficient de zoom
(si ce dernier vaut 1, ces triangles sont égaux)
Semblable
ne veut pas dire égal ! : on 'démontre' (ou plutôt on postule) que deux
triangles sont égaux (= congrus) quand ils ont (Fig. 8)
- un
angle homologue égal
pris en sandwich entre deux côtés homologues égaux , ou
- leurs
trois côtés homologues égaux, ou encore
- un côté homologue
égal pris en
sandwich entre deux angles homologues égaux.
5 -
L'aire du carré, du
rectangle
et du triangle rectangle
L'aire
(ou superficie)
d'un carré de côté a vaut par définition a² (= a × a)
L'aire
d'un
rectangle de côtés a et b vaut par définition a × b.
Montrons
que l'aire
d'un triangle rectangle est ab/2, a et b étant les côtés qui encadrent
l'angle droit.
Fig. 9
Soit
un triangle rectangle BCA dont les angles non droits sont α et β et
dont
les côtés qui encadrent l'angle droit mesurent a et b (Fig. 9). Clonons
ce
triangle pour obtenir un triangle identique B'C'A', qui a bien sûr la
même aire que BCA. Faisons coïncider (par glissemement et rotation) les
hypoténuses BA et B'A', les
sommet A' et B et le sommet B' et A.
Les
4 coins du quadrilatère A'C'AC sont visiblement des angles
droits (car α + β = π/2), et la
figure est donc un rectangle d'aire ab. Les deux triangles ayant la
même aire, celle-ci vaut donc ab/2.
Il n'est
pas difficile de généraliser ce résultat à l'aire d'un triangle
quelconque en construisant la hauteur du triangle, mais c'est inutile
pour ce qui suit.
6
- Théorème de
Pythagore :
Le carré de l'hypoténuse est
égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Il
existerait quelque 370 démonstrations de ce théorème (cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Pythagore)
J'aime bien celle dite de Chou-pei Suan-ching, qui a
plus de 2000 ans.
Soit un triangle rectangle ABC dont les
côtés
perpendiculaires sont a et b, les angles non droits α et β et
l'hypoténuse c (Fig. 10)
Fig. 10
Fig. 11
Clonons
le triangle ABC et plaçons ce nouveau triangle ADC' (en rouge sur la
fig. 10) de telle manière que son côté a soit dans le prolongement du
côté b du premier triangle, et que le côté b du nouveau triangle
surplombe le côté a de l'ancien.
Il est clair que
l'angle BAD est droit car l'angle plat CAC' = π = BAD + α + β = BAD +
π/2,
car α + β
= π/2.
Donc BAD = π/2
Répétons deux fois encore ce clonage
(Fig. 11): les nouveaux triangles sont en bleu.
Par le même
raisonnement, les angles ADE, DEB et EBA sont droits.
ADEB
est donc un carré de côté c, dont l'aire est c². De même CC'C''C''' est
un carré de côté a+b dont l'aire est (a+b)².
Ce carré est la
somme du carré ABED et des 4 triangles ABC, ADC', EDC" et BEC"'. Chacun
de ces triangles a pour aire ab/2
On a donc, pour les aires,
CC'C''C''' = ADEB + 4 ab/2 = ADEB + 2 ab, donc (a+b)² = a² + 2 ab + b²
= c² + 2 ab
D'où a² + b²
= c²
7 -
Sinus et Cosinus
Pour
le domaine qui nous intéresse, l'intérêt essentiel des fonctions
cosinus et sinus est de permettre l'expression de
relations entre la
longueur des côtés et les angles des triangles. Mais ces
fonctions sont essentielles dans bien d'autres domaines: mathématiques
(produit scalaire, vectoriel..), mécanique (mouvement sinusoïdal,),
optique (réfraction )...
L'article de Wikipédia
est très intéressant : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique
A - Cosinus
Considérons
un cercle unité (= un cercle dont le rayon vaut une unité) de centre O,
et munissons le plan d'un repère orthonormé dont l'origine est O (= deux
droites perpendiculaires X'X et Y'Y se croisant en O, avec la même
"échelle de mesure" sur chacune). On vient de
définir le cercle
dit trigonométrique.
Dans
la fig.
12 ci-dessous, XX' est horizontal, donc YY' est vertical, mais ce choix
est arbitraire et rien ne dépend de cette orientation particulière,
choisie pour la simplicité du tracé des figures.
Traçons un rayon
quelconque OA (Fig. 12)
Fig. 12
L'angle XOA a pour
mesure α. α est positif si l'on parcourt
l'arc de cercle XA de X vers A, dans le sens inverse des aiguilles
d'une montre.
Abaissons la perpendiculaire de A sur
l'axe XX'. Elle coupe l'axe XX en A'.
Par
définition, la longueur du segment OA' est la valeur du cosinus de l'angle α, cosinus (α) (écrit cos(α) ou même cos α)
On peut considérer que le cosinus est une fonction qui prend comme argument (= une fonction dont
la variable
est) une valeur d'angle. Elle renvoie comme résultat un nombre qui
correspond à la mesure (= la longueur) d'un segment de droite.
Si
A' est à droite de
O, la valeur renvoyée par cos α est positive :
cos α est positif. C'est
le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle YXY'.
Lorsque
A est entre X et Y, on parle de premier quadrant, entre Y et X' de
second quadrant, entre X' et Y' de troisième quadrant et entre Y' et X
de quatrième quadrant.
Cos
α est
positif
quand α
est dans le premier ou le quatrième quadrant.
Si
A' tombe à gauche de O, cos α
est négatif. C'est
le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle YX'Y'(deuxième
ou troisième quadrant).
Fig. 13
Fig. 14
Fig. 15
Fig. 16
Dans
tous les cas précédent, α
était positif, compté dans le sens des aiguilles d'une montre.
Mais chaque position de A peut aussi
être obtenue avec un angle α négatif,
valant donc - α.
Comparez les fig. 15 et 16. Pour un angle - α, l'arc de
cercle qui le mesure est parcouru dans le
sens inverse des aiguilles d'une montre, de X vers A. Ceci
est bien sûr vrai pour un angle α
quelconque.
La règle des signes de cos α est donc
cos α ≥
0 si α est ≥ 3π /2
(ou - π /2) et ≤ à π /2
sinon
cos α
< 0
Voici
maintenant un ensemble de relations importantes
Il
est évident que
cos 0 = 1
OA' est alors confondu avec le rayon
(de longueur unité) sur OX.
On peut noter que cos α
est toujours compris entre 1
et -1. La projection (= perpendiculaire) de A sur XX' ne peut dépasser
la longueur du
rayon !
On a visiblement aussi
cos π
= - 1
A'
étant sur le cercle, sur le rayon confondu avec OX', le plus à gauche
possible
et
cos π/2
= cos 3 π/2 = 0
A' tombant sur O, le long de YY'.
Très
important est le fait que cos
(-α) = cos α
Considérons
les points A et B qui définissent les angles α et -α (Fig. 17).
Fig. 17
Dans les
triangles rectangles AOA' et BOB', les angles A'OA et B'OB sont égaux,
car il reste dans les deux cas un angle π - α pour compléter l'angle plat
X'OX. Donc les troisièmes (B'BO et A'AO) aussi. Comme ces triangles ont
un côté homologue égal (les rayons) pris en
sandwich entre deux angles homologues égaux, ils sont égaux.
Donc OA' =
OB' et
cos
(-α) = cos α
Enfin, il est clair que cos(2π +
α ) = cos α,
et ceci quel que soit α.
Un angle
de 2π est
en effet un tour complet, qui ramène A à son point de départ X.
Seul α joue
donc un rôle. De même, cos(2π
-
α ) = cos (-α)
= cos α
pour les mêmes raisons. On peut
généraliser à cos(k2π ±
α)
= cos α,
où k est un entier positif, nul, ou négatif. Ceci
est la définition d'une fonction périodique : elle reprend de manière répétitive les mêmes
valeurs lorsque son argument parcourt l'étendue des valeurs possibles.
Cosinus
et longueur des côtés d'un triangle rectangle
Pour
le domaine qui nous intéresse, l'intérêt essentiel des
fonctions cosinus et sinus est de permettre
l'expression de
relations entre la longueur des côtés et les angles des triangles.
Soit
un triangle rectangle ABC, et un
triangle rectangle OAA'
semblable (= de même forme = possédant les mêmes angles) dont
l'hypoténuse est
égale à 1 (unité) (Fig. 18).
Fig.
18
Le triangle OAA' étant identique à la
construction
utilisée pour définir cos α, OA'
vaut de toute évidence cos α.
Le facteur de zoom est donné par la longueur de
l'hypoténuse, c, car c = 1.c Donc AC = b = c cos α, et
cos α = b / c.
Le cosinus d'un
angle du triangle est donc égal au rapport entre la
longueur du côté qui
n'est pas à l'opposé de cet angle et l'hypoténuse.
Donc
Si
on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la valeur d'un
angle α
, on peut calculer la longueur L du côté qui n'est pas à l'opposé de
cet angle par L = c cos α
Si
on connaît la longueur L d'un coté et la valeur d'un angle α qui n'est pas à
l'opposé, on peut calculer la longueur de l'hypoténuse c par c = L /
cos α
Si
on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la longueur d'un côté L,
on peut calculer le cosinus de l'angle α qui n'est pas à l'opposé du
côté par cos
α = L
/c
B -
SINUS
Reprenons le cercle
trigonométrique qui nous a servi pour établir les propriétés de la
fonction cosinus.
Soit un rayon OA.
Abaissons la
perpendiculaire de A sur l'axe YY'. Elle coupe l'axe YY' en A" (Fig.
19).
Fig. 19
Par
définition, la longueur du segment de droite OA" est la valeur de la
fonction sinus(α) pour l'angle α (écrit sin(α) ou même sin α), le
sinus de α
On remarque
que AA' a pour mesure sin α. Le quadrilatère OA"AA' est en
effet un
rectangle. Les côtés sont parallèles deux à deux par construction et
l'angle A"AA' est droit, comme les 3 autres : l'angle OAA"
vaut α (angle alterne-interne par
rapport à A'OA), l'angle OAA' vaut
π/2 - α , donc leur somme A"AA' vaut π/2.
Le
théorème de Pythagore sur le triangle OAA' donne immédiatement la
relation fondamentale
OA'² + AA' ² = OA ² d'où
sin ² α
+ cos² α
= 1
(On
écrit traditionnellement
sin² α pour (sin α)², bien sûr
différent de sin α² =
sin(α²))
La fonction
sinus prend comme argument une valeur d'angle. Elle
renvoie comme résultat un nombre qui
correspond à la mesure d'un segment de droite.
Si
A' est au-dessus de
O, la valeur renvoyée par sin α est positive : sin α est positif. C'est
le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle XYX'.
Sin
α est
positif
quand α
est dans le premier ou le second quadrant.
Si
A" est au-dessous de O, sin α
est négatif. C'est
le cas lorsque A se trouve sur le demi-cercle X'Y'X (troisième
ou quatrième quadrant).
On peut le constater sur
les fig. 13 à 15 en projetant A sur l'axe YY'.
La règle des signes de sin α est donc
sin α ≥
0 si α est ≥ 0
et ≤ à π
sinon sin α
< 0
Voici
maintenant un ensemble de relations importantes
Il
est évident que
sin 0 = 0
OA" se projette sur le point O.
On
peut noter que sin α
est toujours compris entre 1
et -1.
On a visiblement aussi
sin π
= 0
et
sin π/2
= 1
sin 3 π/2 = -1
A étant sur l'axe YY'.
Très
important est le fait que sin
(-α) = - sin α
Fig. 20
Traçons
sur le cercle trigonométrique 2 rayons OA et OB tels que les angles XOA
et XOB valent respectivement α
et -α. (Fig. 20). Les triangles
rectangles OAA" et OBB" ont les mêmes angles : AOA" vaut α -
π / 2, tout comme
BOB",
les troisièmes (OAA" et
OBB") sont donc identiques. Un côté homologue (les rayons) entre deux
angles homologues égaux font que ces triangles
sont égaux, donc OA" et OB" ont même longueur. Mais comme ils sont
chacun d'un côté opposé de
O,
sin
(-α) = - sin α
Enfin, il est clair que sin (2π +
α ) = sin α,
et que ceci quel que soit α.
Un angle
de 2π est
en effet un tour complet, qui ramène A à son point de départ X.
Seul α joue
donc un rôle. De même, sin(2π
-
α ) = sin (-α)
= - sin α
pour les mêmes raisons. On peut
généraliser à sin(k2π +
α)
= sin α
et sin(k2π -
α)
= - sin α
où k est un entier positif, nul, ou négatif, ce qui est la caractéristique d'une fonction
périodique.
Sinus
et longueur des côtés d'un triangle rectangle
Rappelons que, pour le domaine qui nous intéresse, l'intérêt essentiel
des
fonctions cosinus et sinus est de permettre
l'expression de
relations entre la longueur des côtés et les angles des triangles.
Soit
un triangle rectangle ABC et un
triangle OAA'
semblable (= de même forme = possédant les mêmes angles) dont
l'hypoténuse est
égale à 1 (unité) (Fig. 21)
Fig. 21
Le triangle
OAA' étant identique à la
construction
utilisée pour définir sin α, AA'
vaut de toute évidence sin α.
Le facteur de zoom est donné par la longueur de
l'hypoténuse, c, car c=1.c Donc BC = a = c sin α, et
sin α = a / c.
Le sinus d'un
angle du triangle est donc égal au rapport entre la
longueur du côté à
l'opposé de cet angle et l'hypoténuse.
Mnémotechniquement
: Sinus
- OppoSé
Donc
Si
on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la valeur d'un
angle α
, on peut calculer la longueur L du côté opposé de
cet angle par L = c sin α
Si
on connaît la longueur L d'un coté et la valeur de l'angle α opposé,
on peut calculer la longueur de l'hypoténuse c par c = L / sin α
Si
on connaît la longueur de l'hypoténuse c et la longueur d'un côté L,
on peut calculer le sinus de l'angle α opposé au
côté par sin
α = L
/c
On peut enfin
dériver
deux relations particulièrement utiles entre sinus et cosinus
Dans
le triangle ABC, on sait maintenant que BC = a = c
sin α
On sait
aussi que l'angle ABC
vaut β =
π/2 - α.
(somme
des angles non droits d'un triangle rectangle)
Or BC est le coté non
opposé à
l'angle ABC = β . Il est donc égal à c cos β = c cos (π/2 - α) !
On
a donc BC = c
sin α
= c cos (π/2 - α)
d'où
sin α
= cos (π/2 - α) = cos(α - π/2)
De même, AC =
b = c cos α,
comme on l'a vu dans l'étude de la fonction cosinus : AC est le côté
non opposé à α
Or AC est le côté opposé à β, donc AC = b = c sin β
= c sin(π/2 - α) !
d'où AC
= c cos α = c
sin(π/2 - α)
et
cos α
= c sin(π/2 - α) = - c sin(α - π/2)
Ces
deux relations seront mises à profit dans la partie suivante
8
- cos(α
+ β
) = cos β cos α - sin β
sin α
et toutes les autres....
:-((
On
est là au coeur de la trigonométrie élémentaire. Sans la connaissance
de ces formules, point de salut...
Fig. 22
Soi(en)t
2 rayons
OA et OB sur le
cercle unité muni d'un repère orthonormé (Fig. 22). L'angle XOA
vaut α ,
l'angle AOB vaut β, donc l'angle XOB vaut α + β
On
cherche à exprimer OB' =
cos(α + β)
OB"
= cos β (par définition:
on note que OA joue ici pour β le rôle de OX pour α )
OCB' =
BCB" (angles opposés par le sommet).
OCB' =
π/2 - α car, dans le triangle OCB', α + OCB' + π/2 = π, donc
BCB" = π/2 - α
CBB" = α car, dans le triangle CBB",
BCB" + CBB" + π/2 = π : puisque BCB" = π/2 - α, on a π/2 - α
+
CBB" + π/2 = π , d'où CBB"
= α (théorème dit des angles orthogonaux)
OB' = cos(α + β ) = OC cos α (par définition)
OC =
cos β - CB"
d'où
cos(α + β ) = (cos β - CB") cos α = cos β cos α
- CB" cos α
CB" = CB sin α d'où cos(α
+ β ) = cos β cos α - CB sin α cos α
Or
BB" = CB cos α = sin β d'où CB = sin β / cos α
ce qui donne
cos(α
+ β)
= cos β cos α - (sin β /
cos α ) sin α cos α = cos β cos α - sin β
sin α
On
peut maintenant facilement trouver les trois relations qui
concernent cos
(α - β),
sin (α + β) et sin (α - β)
cos
(α - β)
= cos(α + (- β ))
= cos (-β) cos α
-sin (-β) sin α
Comme cos
(-β) =
cos β
et sin (-β) = - sin β
on a
cos (α - β) = cos β
cos α - (- sin β sin α)
= cos β cos α
+ sin β sin α
La formule établie
pour cos(α + β) permet d'établir celle pour
sin (α + β )
On a vu plus haut
que cos (π/2 - δ
) = sin δ.
Si δ
= (α + β),
cos(π/2 - (α +
β)) = sin (α + β)
[On peut aussi le montrer par
cos(π/2 - (α + β)) = cos π/2 cos (α + β) +
sin π/2 sin (α + β) = sin (α + β)
car cos π/2 = 0 et sin π/2
= 1]
Mais cos(π/2 - (α + β))
peut aussi s'écrire cos (( π/2
- α) - β)
donc
sin (α +
β) = cos (( π/2
- α) - β) = cos ( π/2
- α) cos β + sin ( π/2 - α)
sin β
Comme cos (π/2
- α) = sin α et sin
(π/2 - α) =
cos α
on obtient
sin (α
+ β) = sin α
cos β + cos α sin β
On
peut écrire sin (α - β) = sin (α + (-β))
Comme cos (-β) = cos β
et sin (-β) = - sin β
sin (α - β) =
sin α
cos (- β) + cos α sin (-β) =
sin α cos β - cos α sin β
NB:
il existe des dizaines d'identités remarquables entre les fonctions
trigonométriques. Seules celles utiles ici ont été
mentionnés.
Inutile aussi de définir les fonctions tangente et cotangente.
9 et
dernier...
La 'loi des cosinus'
On trouve ce
théorème sous
le nom (pédant) de théorème d'al-Kashi dans
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Al-Kashi
Nous
l'appelons "loi des cosinus" par traduction directe de l'anglais "law
of
cosines".
Il
généralise le théorème de
Pythagore aux triangles non
rectangles..
C'est une relation entre
la longueur d'un côté d'un
triangle quelconque et la longueur des deux autres côtés ainsi
que l'angle
du sommet opposé.
Nous allons montrer que dans
le triangle ABC de la fig. 23
a² =
b² + c² - 2 bc cos(α)
et
aussi
b² =
a² + c² - 2 ac cos(β)
c² =
a² + b² - 2 ab cos(γ)
Soit
un triangle quelconque ABC. Notons
que dans cette figure l'angle CAB (c'est-à-dire α) est supérieur à
π/2 (ou 90°).
Traçons depuis C la perpendiculaire au
prolongement du côté AB, qui coupe cette droite en H.
Fig. 23
L'angle
HAC vaut π -α , et l'angle HCA vaut π - (π -α) - π/2 = α - π/2
(car la somme des angles du triangle HCA (c'est-à-dire l'angle HCA
+ π/2 + π-α) vaut π)
Le théorème de
Pythagore
permet d'écrire
a² = (c + AH)² + CH² = c² + 2 c AH +
AH² + CH²
Or
AH =
b sin(α - π/2) = - b cos(α)
// sin(α - π/2) =
- cos(α)
car
sin(α - π/2) = sin α cos π/2 - cos α sin π/2
et sin π/2 = 1 et cos π/2 = 0
AH²
= b²
cos²(α)
CH = b cos(α - π/2) = b
sin(α)
// cos(α - π/2) = sin (α)
car
cos(α - π/2) = cos α cos π/2 +
sin α sin π/2 et sin π/2 = 1 et cos π/2 = 0
CH
= b² sin²(α)
d'où
a² =
c² - 2 c b cos(α) + b² cos²(α) +
b² sin²(α) = c² - 2 c bcos(α) + b²
(cos²(α) + sin²(α))
Comme cos²(α) +
sin²(α) = 1
a² =
b² + c² - 2 bc cos(α)
Cette
relation reste vraie si l'angle CAB (c'est-à-dire α) est inférieur à
π/2. (fig. 24)
Fig. 24
Traçons
la
perpendiculaire à AB passant par C qui coupe AB en H.
L'angle
ACH vaut π/2 - α, car angle ACH + π/2 + α = π
Le
théorème de Pythagore permet d'écrire
a² = BH² + CH² = (c -
AH)² + CH² = c² - 2 c AH +
AH² + CH²
AH = b sin (π/2 - α) = b cos(α)
AH² = b²
cos²(α)
CH = b cos (π/2 - α) = b sin(α)
CH² = b²
sin²(α)
d'où
a² = c² - 2 c b cos(α) +
b² cos²(α) + b² sin²(α)
a² =
b² + c² - 2 bc cos(α)
On
peut vérifier qu'on trouve la même relation en traçant la
perpendiculaire à la droite CA (ou à son prolongement) à partir de B.
Enfin, cette démonstration ne dépend pas du
choix de a, qui
est un côté quelconque. Elle se généralise donc aux deux autres côtés b
et c, d'où les trois relations données au début de ce
paragraphe.
Voilà, nous sommes prêts pour la démonstration du théorème fondamental de la navigation astronomique...
Voici,
pour le plaisir, une
autre démonstration plus algébrique de la loi des cosinus
Fig. 25
Connaissant
u, s et α, on cherche r. On trace la perpendiculaire h sur u.
On
a
cos
α = u2 / s
u1² +
h² = r²
u2² + h² = s²
u1
+ u2 = u
On fait
r² - s² = u1²
+ h² - u2² - h² = u1² -
u2² = (u1 + u2)
(u1 - u2)
Comme u1
+ u2 = u, u1 = u - u2
et u2 = s cos
α
r² - s² = u (u - u2 -
u2) = u (u - 2u2) = u² -
2u u2 = u² - 2 u s cos α
d'où
r² = u² + s² - 2 u s cos α
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