Vecteurs,
produit scalaire et théorème fondamental de la navigation
astronomique
Retour à la page d'accueil
L'emploi
des objects mathématiques appelés vecteurs
se révèle extraordinairement utile dans les nombreux
domaines qui décrivent le monde physique. Utile, mais pas
indispensable
! Si savez utiliser les vecteurs, vous maîtriserez un outil performant
de représentation et de calcul, mais vous ne saurez rien de plus sur
l'origine et la
cause des phénomènes
physiques que vous voulez décrire. En revanche, mais ce
n'est pas notre
but ici, vous posséderez
un fragment essentiel de culture
mathématique.
Pour revenir à des choses
concrètes, le calcul vectoriel nous fournira une démonstration rapide
(et parfaitement mémorisable) de la formule fondamentale de la
navigation astronomique.
1 - Vecteurs
Les
vecteurs sont
extrêmement utiles
pour décrire de manière précise les déplacements. En effet, la seule notion de
distance
ne suffit pas : si vous dites que vous êtes
à 300 m de la mairie de
votre ville (une distance par rapport à un point) personne ne peut
savoir exactement
où vous êtes : vous êtes quelque part sur un cercle de 300 m de rayon
autour de la mairie. Il faut bien sûr dans ce cas préciser la direction
de la mairie par rapport à votre position (ou l'inverse !).
Un vecteur est un être
mathématiques riche incorporant plusieurs informations :
- une
longueur (appelé module),
entre 2 'repères'.
- une direction,
qui est droite (potentiellement) infini sur laquelle est 'posé' le
vecteur
- un sens,
qui permet de préciser lequel des repères est l'origine et lequel est
l'extrémité.
On représente souvent graphiquement un vecteur
par une flèche, qui permet de visualiser facilement ces
informations (Fig. 1). Typographiquement, les vecteurs seront en gras : V,
AB...
La notation avec un flèche susjacente comme n'est guère pratique en HTML.
Fig.1
2 - Somme de vecteurs et
équipollence
Il
est facile de représenter deux déplacements consécutifs (= successifs)
au moyen de deux
vecteurs. L'extrémité du premier vecteur est alors l'origine du second. Le
déplacement total, le vecteur somme ou résultante,
est aussi un vecteur
dont
l'origine est l'origine du premier vecteur et l'extrémité est
l'extrémité du second (Fig. 2)
Fig. 2
Fig. 3
Par l'énoncé
de
cette "recette de calcul" (ou propriété), on commence à donner un sens à
l'addition de deux
vecteurs, notée algébriquement (= comme en algèbre)
V1
+ V2 = Résultante.
Bien
sûr, vous pouvez appeler la résultante V3, mais dans V1
+ V2 = V3, V3 est
quand même la résultante de la somme V1
+ V2
On
a
visiblement aussi (fig. 3) (sautant ainsi la démonstration) V2
+ V1 = Résultante = V1 + V2. De
manière imagée, on peut commencer la construction graphique de la somme de deux (ou plusieurs) vecteurs consécutifs
par n'importe quel vecteur.
On parle souvent de 'règle du
parallélogramme' pour la construction décrite à la fig. 3 (Un
parallélogramme est un rectangle "incliné": les côtés (opposés) sont
parallèles deux à deux, donc de longueurs égales deux à deux, mais les
angles ne sont pas droits).
En physique, les
forces semblent avoir des propriétés voisines des vecteurs : les
forces ont une magnitude (= grandeur mesurable, l'équivalent
du module), une direction et un sens.
Mais
deux forces peuvent s'appliquer au même point (d'un objet) (fig. 4). Mais si l'on y pense,
c'est également le cas de certains déplacements : un bateau (relativement
à un point fixe sur la côte, par exemple) peut se
déplacer sous l'effet de la poussée de ses voiles, mais également, et
en même temps, sous l'effet d'un courant dans un autre direction.
Fig. 4
Quelle est la
résultante de ces deux forces ou de ces deux mouvements ?
Il y a très longtemps, les physiciens
ont fait l'hypothèse
que, dans ce type de situation, la résultante
est la même
que si les deux vecteurs
représentant les forces (ou les déplacements) étaient consécutifs,
c'est-à-dire placés de manière que l'extrémité du premier soit
l'origine du second; conformément à la "recette de
calcul" déjà donnée.
Et c'est certainement une 'bonne' hypothèse car, si
certains ponts se sont écroulés, les enquêtes n'ont jamais mis en cause
cette hypothèse, et puis Apollo 11 a bien atteint la Lune...
Fig. 5
Fig. 6
Dans
le jargon mathématique, on dit que les deux vecteurs notés
(volontairement) de manière identique V1 et V1 (fig. 5) ou V2 et V2
(fig. 6) sont équipollents.
Ils ont même module, même direction, et même sens.
Notez
bien que dans la
définition d'un vecteur (module, direction et sens), rien ne
dit où dans le monde se trouve son origine ou son extrémité.
Pour
une force qui s'applique à un objet, on peut prendre (un point de) cet
objet: c'est commode. Mais nous verrons plus loin que pour une
différence de vitesse, cela n'a pas de sens.
En fait, pour faire la somme
de deux vecteurs, il faut d'abord choisir arbitrairement un
point
origine, puis porter les vecteurs en cause de manière à satisfaire la
"recette de calcul" : l'extrémité du premier, choisie
arbitrairement, doit être
l'origine du second, le vecteur somme (la résultante) allant de l'origine du premier à
l'extrémité du second.
Voici
une manière de penser l'addition de deux vecteurs. Imaginez,
empruntez, volez que sais-je.. deux vecteurs, avec leurs
caractéristiques. Ils ne sont nulle part en particulier, peut-être dans
votre tête seulement. Vous voulez vraiment les additionner ? Oui ?
Alors choisissez un point origine. Oui, il FAUT un point origine pour
pouvoir faire l'addition. Où ? Mais, n'importe où, c'est pas un
problème. Vous en avez choisi un ? Bon,
placez à partir de ce point origine des vecteurs équipollents (même
module, même direction, même sens) à ceux que vous avez
imaginé de manière à respecter la "recette de calcul": l'origine du
premier (l'un des eux, au pif, on se dépêche) sur le point que vous
avez choisi, l'extrémité du premier comme origine du second.
Et bien, vous l'avez, votre résultante ? Oui, c'est ça, un vecteur
allant du point origine choisie à l'extrémité du second vecteur.
N'oubliez pas de mettre un vecteur équipollent à la résultante
là où vous voulez, peut-être dans votre tête, et faites-en bon usage,
si vous en êtes capables. Point final.
Peut-on
définir un vecteur 'négatif' ? V1-V2 a-t'il un sens?
D'abord
on dit vecteur opposé,
pas négatif. Reprenons
l'exemple de la fig. 1, où V1
+ V2 = Résultante.
Par analogie avec l'algèbre, on peut essayer d'écrire V1 = Résultante - V2
= Résultante + (-V2).
Définissons maintenent -V2
comme un vecteur qui a même module, même direction, mais un sens
contraire à celui de V2,
et appliquons la recette (Fig. 7).
Fig. 7
Bon, en comparant la
fig. 2 et la fig. 7, ça a l'air de
marcher. Intuitivement V1-V1 = V1 + (-V1) donne O, oui, un (=
le, il faudrait le démontrer, mais on laisse ça au vrai matheux)
vecteur nul
(son module est nul, quant au sens et à la direction, ce n'est pas
clair !)
car une somme de vecteurs doit donner un résultante qui est un vecteur,
c'est dans la définition. C'est logique pour les déplacements, on fait
un aller-retour pour se retrouver au point de départ, et pour les
forces aussi: on tire avec la même force
en sens opposé: ces forces s'annulent.
Il n'est pas idiot de
représenter la vitesse (instantanée) d'un objet par
un vecteur: une vitesse a en effet un module, une direction et un
sens. Il peut paraître pratique d"attacher" ce vecteur à la position de
l'objet. Sur la fig. 14, V1
est la
vitesse à l'instant t1 et V2 la vitesse à
l'instant t2. Intuitivement, le vecteur 'variation
de vitesse' D
entre ces deux instants sera donné par D
= V2 - V1: en considérant seulement les modules, si je roulais il y a 10 s ( t1) à 80 km/h (V1), et maintenant ( t2) à 90 km/h (V2), j'ai accéléré de 10 km/h : D = V2 - V1
Comment interpréter et calculer D
?
Appliquons une règle algébrique : faire passer V1 de l'autre côté du
signe égal en changeant son signe conserve la relation , d'où D + V1 = V1 +
D = V2. Donc
D est le vecteur qu'il faut ajouter à V1 pour que V2 soit la
résultante !
(C'est
chouette de pouvoir traiter un vecteur commme un être algébrique : ça
vaut la peine de définir les "recettes de calcul" qui le permettent)
Comment
représenter D ?
Fig. 14
Fig. 15
"Attacher"
le vecteur à l'objet a pu sembler une représentation commode. Mais on
ne peut pas représenter D sur la figure 14 ! Mais enfin, la "recette de calcul" dit
qu'il faut choisir un point O (arbitraire) comme origine du premier
vecteur.. etc (fig 15). D est alors évident à tracer. Vous voyez bien
qu'il est impossible de tracer
D sur la fig. 14 car V1 et V2 n'ont pas même
origine! Sur la fig. 15, D est un vecteur équipollent au vecteur 'variation de vitesse' V2 - V1
"Dire qu'un vecteur
est trois fois
plus grand qu'un autre, ça a un sens ? "
Oui, mais attention,
ça n'a de
sens que pour des vecteurs qui ont même direction. Si
c'est vrai, il
suffit que le module de l'un soit trois fois plus grand que celui de
l'autre. Si le grand vecteur est V2, on peut écrire V2
= 3V1 (c'est la multiplication d'un vecteur par un scalaire (= un nombre)), mais
cela implique de plus que les vecteurs V1 et V2 ont même sens. Si V2 est bien de même
direction que V1,
mais de sens contraire,
il faut écrire V2
= -3V1
Le
module du vecteur V se
note |V|.
Ecrire V2
= 3V1
implique |V2|
= 3|V1|.
Ecrire V2
= -3V1
implique |V2|
= 3|-V1|
(Le module est une longueur, qui ne dépend pas du sens)
Enfin, pour
un vecteur V
quelconque, on peut définir un vecteur unité (notons le i) de même direction
et de même sens que V
et de module égal à une unité (|i|
= 1) tel que V
= |V|i
Tout
ça fait qu'on commence petit à petit à savoir traiter les vecteurs
comme les
nombres en algèbre, mais avec des "recettes de calcul" (ou propriétés) spécifiques.
Et
ce n'est
pas fini ...
3 - Le
module de la résultante et la notion de produit scalaire
"Bon. Tout ça c'est
bien joli, mais je voudrais maintenant savoir calculer la longueur, pardon le
module, de la résultante !"
Pour le moment, ce que je peux
vous
proposer, c'est de traiter le problème comme un problème de géométrie
et de trigonométrie.
Deux vecteurs OA et OB définissent un
plan, sur lequel se trouve aussi leur résultante (on va admettre ça). Munissons ce plan de
deux axes
orthonormés (= perpendiculaires et même unité de mesure sur chacun)
se
coupant en O, qui est le point origine nécessaire pour
l'addition.
On peut considérer les deux vecteurs OA et OB et leur
résultante OR,
comme une figure géométrique, évidemment un triangle et les traiter
comme des
segments de droite : le module (= la longueur) de OA, |OA|, vaut donc OA,
idem pour les autres.
Fig. 8
OA fait un
angle α avec l'axe horizontal (= l'axe des abscisses) et OB un angle β.
Notons que la valeur de ces angles dépend de l'orientation
choisie
pour les axes.
L'angle
entre OA et OB vaut donc β - α, mais cette valeur, elle , ne
dépend pas de l'orientation des axes !
On prolonge OB vers
B'.
l'angle B'BR = β - α car BR est équipollent à
OA, donc BR
est parallèle à OA et les angles BOA et B'B'R sont identiques.
Donc
l'angle OBR, qui complète l'angle plat B'BO, vaut θ = π - (β
-
α)
On peut maintenant utiliser la loi des cosinus dans le
triangle OBR
pour calculer la longueur de la résultante OR
OR² = OB²
+ OA² - 2 OB OA cos θ
or cos θ = cos(π -
(β - α)) = cos(π) cos(β - α) + sin(π)
sin(β - α) = - cos(β - α)
(car
cos(π) = -1 et sin(π) = 0)
d'où
OR² = OB²
+ OA² + 2 OB OA
cos (β - α)
(β -
α) peut être positif ou négatif
(selon que α est plus petit ou plus grand que β ) Mais
de toute façon, cos (α - β) = cos(β - α). En effet (α - β) = - (β - α)
et cos δ = cos (-δ), d'où cos(α - β) = cos(- (β - α)) = cos(β - α)
Tiens, cette relation a
un 'air de famille' avec le second membre de la relation algébrique (X +
Y)² = X² + Y² + 2 XY
Bon, vectoriellement OR = OA + OB
Essayons
d'écrire 'formellement', c'est-à-dire sans nous préoccuper de la
justification de ce que nous écrivons, la valeur 'algébrique'
de OR²
OR²
= (OA + OB)² = OA² + OB² + 2 OA OB
Comparons
avec
OR²
= OA² + OB² + 2 OB OA cos (β - α)
Bon, ça se confirme, il y a
bien un air de famille certain !
Nous rencontrons pour la
première fois des produits de vecteur,
OA OB,
mais aussi OA OA et OB OB si
nous interprétons OA²
et OB²
comme des
produits.
Supposons maintenant que nous posions, comme
définition,
OA OB = OB OA cos δ
(où δ est l'angle entre OA et OB)
Ici δ = β - α. Les
derniers termes des deux relations sont maintenant égaux.
Le
produit OA OB serait donc un nombre
égal au
produit du module de OA
(|OA| = OA),
du module
de OB (|OB| = OB) et du
cosinus δ de l'angle entre les vecteurs OA et OB
Mais
je ne rève pas !!!! on
peut interpréter de la même manière OA², OB² et OR² !!!!!
En effet
OA² = OA OA = OA OA cos (0),
car l'angle entre OA
et OA est
nul ! cos(0) = 1, d'où OA²
= OA²
De même bien sûr, OB²
= OB² et OR²
= OR²
Donc, en posant par définition
OA OB = OB OA cos (β - α)
on
obtient
OR²
= OA²
+ OB² + 2 OA OB = OR² = OA² +
OB² + 2 OB OA cos (β -
α)
Maaaagique......hein ? Tu
parles qu'on va l'adopter, cette définition !
En
math,
le produit OA OB est appelé produit
scalaire (= produit qui donne un nombre)
NB : il est défini par ailleurs (au moins) un autre produit de vecteurs le
produit dit vectoriel noté souvent OA x OB (ou OA ∧
OB), qui n'a rien à voir avec le produit scalaire (il donne un vecteur, pas un nombre) mais qui est bien
utile en physique, par exemple
dans les histoires de flux à travers une surface.
On peut immédiatement noter une propriété essentielle du produit scalaire.
Le
produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux (= à angle droit) est nul car
l'angle δ
entre les deux vecteurs vaut π/2, et cos(π/2) est nul !
Essayons
de bien voir ce que nous avons obtenu:
- Nous avons défini un
"recette de calcul" pour le produit scalaire : OA OB = OA OB cos δ
, δ étant l'angle entre OA et OB
-
Nous avons donc une interprétation pour un produit de type AB² : c'est le carré
du module de AB,
c'est-à-dire |AB|²
-
Plus généralement, nous avions défini jusqu'ici la somme et la
différence de deux vecteurs, le vecteur nul, l'opposé, la
multiplication d'un vecteur par un scalaire.
Nous venons de définir
maintenant le
produit scalaire de deux vecteurs (non, on n'a pas défini la division, ça n'a pas
de sens), ce
qui nous permet de travailler 'algébriquement' sur les vecteurs, comme si
c'était des nombres (mais en respectant les "recettes de calcul" propres)
Nous
savons en particulier exprimer ALGEBRIQUEMENT une propriété importante
du résultat d'une somme de vecteur, le carré du module de la
résultante,
par OR²
= |OR|²
= OA²
+ OB² + 2 OA OB, qui dérive
naturellement (= algébriquement) de la relation OR = OA + OB élevée au carré.
(Tout
calcul fait avec ces "recettes de calcul", cette valeur est bien sûr
identique à celle que l'on
obtient par le biais de la géométrie et de la trigonométrie)
"C'est
tout ?"
Ben
non. Avec le produit scalaire, on va pouvoir maintenant dériver une
expression pour la valeur de l'angle entre OA et OB à partir des
coordonnées de A et B, ce qui nous donnera une démonstration simplissime
de la formule de la navigation astronomique.
4 - Un vecteur comme somme de ses
composantes
Il
y a deux manières de repérer des points dans un espace. Pour être
simple, limitons-nous à un plan (espace à deux dimensions) pour le
moment.
- On peut
répèrer un point comme l'extrémité d'un vecteur ayant son
origine en un point unique donné à l'avance. C'est que nous venons de
faire implicitement; Par exemple, à la fig. 8, B est
l'extrémité du
vecteur OB,
A est l'extrémité du vecteur OA.
O est unique et donné à l'avance.
- On peut également
utiliser une
méthode similaire au repérage par latitude et longitude d'un point de
la terre.
Chaque point du plan est caractérisé par un couple
de
valeurs, qui sont les coordonnées
de ce point. Pour assigner des coordonnées, il faut se donner un
système d'axes: un système pratique utilise deux
axes
orthonormés se coupant en un point O de coordonnés (0 ;
0). Ces deux axes sont XX' et YY' à
la fig. 9. On est libre
de
choisir l'orientation du système d'axe. Mais le
raisonnement sera quelquefois plus simple si on choisit astucieusement
un système d'axes particulier.
De plus,
on considére que chaque
vecteur est la somme de
deux vecteurs orthogonaux
(appelés composantes
du vecteur) dont l'origine est le point O et les
directions celles des axes. Chacun de ces deux
vecteurs est exprimé comme le produit du vecteur unité (module = 1) et
du module du
vecteur: V
= i|V|.
Concrètement, à la fig. 9, le vecteur OA
est la somme des vecteurs ixA
et jyA,
i et j étant les vecteurs
unités sur OX et OY, et xA
et yA
étant les modules :
OA
= ixA
+ jyA.
OA
faisant un angle α avec OX, et comme |OA| = a, on en
déduit immédiatement que xA
= a cos α et yA = a sin
α.
Les coordonnées de A sont (xA
;
yA) ou encore
(a cos α ; a sin α).
Fig. 9
Il est
intéressant de calculer OA²
au moyen des ses composantes ixA et jyA : on sait déjà que |OA|²
= a²
OA²
= (ixA
+ jyA)²
= ixA
ixA
+ jyA
jyA
+ 2 ixA
jyA
D'après
la définition du produit scalaire, comme
i et j sont orthogonaux,
le dernier terme disparait. De plus, i
faisant un angle nul avec lui-même, i
i = 1.1 cos 0 = 1 car cos 0 =1 . De même pour j j.
Au
total
OA² = xA xA
+ yA yA
= xA²
+ yA²
Cette expression est bien, d'après le théorème de Pythagore, le carré de
l'hypothénuse a² !
On peut aussi le constater en remplaçant
xA et yA
par leurs valeurs a cos α et a sin α
OA² = xA²
+ yA²
= a² cos² α + a² sin² α = a² (cos² α + sin² α) = a²
(car cos²
α + sin² α = 1)
Voici
donc le moyen de calculer le carré du module d'un vecteur quand on
connaît ses composantes.
5 - Somme vectorielle en fonction
des composantes
La fig. 10
montre la somme vectorielle OA
+ OB = OR, avec les mêmes
notations qu'à la fig. 9 pour OA
et OB.
Fig. 10
OR = OA + OB = (ixA
+ jyA)
+ (ixB
+ jyB)
= i(xA
+ xB)
+ j(yA +
yB)
Cette relation nous dit
que le vecteur OR
a pour composantes iyxR
= i(xA
+ xB) et jyR =
j(yA +
yB)
Ceci est vrai. Le
triangle rectangle BRR' est construit sur BR,
équipolent à OA.
Il est égal au triangle OAA'.
BR' vaut donc xA.
De même RR' est égal à yA.
En termes de valeur des composantes, OR est
aussi égal à i(a
cos α + b cos β)
+ j(a
sin α + b
cos β), relation sans beaucoup d'intérêt.
Calculons
OR² qui doit
être égal à OR²
OR²
= (OA + OB)²
= (i(xA
+ xB)
+ j(yA +
yB))²
= i²(xA
+ xB)² + j²(yA +
yB)² + 2i(xA
+ xB)j(yA +
yB)
Le dernier membre est
nul car les vecteurs i
et j sont
orthogonaux. Comme i² et j² = 1, il reste
OR² = (xA
+ xB)² + (yA +
yB)²
qui est bien égal à |OR|² =
OR², le carré de l'hypothénuse d'un triangle dont les côtés
valent (xA +
xB) et (yA +
yB)
On a également
OR²
= (a cos α +
b cos β)² + (a sin α + b
sin β)²
= a² cos²
α + b² cos² β + 2 a b cos α cos β + a² sin² α + b² sin² β + 2
a b sin α sin β
= a²
(cos² α + sin² α) + b² (cos² β + sin² β) + 2 ab (cos α cos β
+ sin α sin β)
= a² + b²
+ 2 ab cos (α
- β)
Nous retrouvons avec plaisir le
résultat déjà obtenu plus haut.
Pas
d'inquiétude : cos (α - β) = cos(β - α). En
effet (α - β) = - (β - α)
et cos δ = cos (-δ), d'où cos(α - β) = cos(- (β - α)) = cos(β - α)
Jusqu'ici
nous avons retrouvé des relations déjà connues. Mais ce qui suit va
justifier le temps passé à lire cette page...
6 - Produit scalaire
dans le plan en fonction des composantes
Calculons
le produit scalaire OA
OB qui est
égal, on
le sait, à ab cos (β - α)
OA OB
= (ixA
+ jyA)
(ixB
+ jyB)
= ixA ixB
+ ixA
jyB
+ jyA
ixB
+ jyA
jyB
Comme
les membres contenant i
et j sont
nuls, et que i² et j² = 1, il reste
OA OB
= xA xB + yA yB
Vérifions
qu'il s'agit bien d'un produit scalaire en remplaçant xA
par a cos α , yA par a
sin α ...
OA
OB
= a cos α b cos β + a sin α b
sin β
= ab (cos α cos β
+ sin α sin
β)
= ab cos(α - β)
Le
produit scalaire prend donc une forme particulièrement simple,
fonction
des seules composantes des deux vecteurs
OA OB
= ab cos(α -
β) =
xA xB + yA yB
Comme
il s'agit de nombre, on peut écrire
cos(α - β) = xA xB + yA yB / ab
L'angle
entre les deux vecteurs OA et OB se calcule donc facilement quand on
connaît les composantes et le module des vecteurs.
7 - Produit scalaire
dans l'espace à trois dimensions en fonction des composantes
L'intérêt
de l'expression du produit scalaire en fonction des
composantes est encore plus évident quand on traite de l'angle entre deux
vecteurs dans l'espace à
trois dimensions.
Dans ce cas,
un vecteur a trois composantes, par exemple OA = ixA
+ jyA
+ kzA.
Tous les couples de vecteurs unité sont perpendiculaires sauf
ceux de même nom.
Le carré du module de la résultante s'écrit
OA²
= (ixA
+ jyA
+ kzA)²
= ixAixA
+ ixAjyA
+ ixAkzA
+ jyAixA
+ jyAjyA + jyAkzA
+ kzAixA
+ kzAjyA
+ kzAkzA
On
élimine les membres qui comprennent des vecteurs unité de
noms différents parce ce qu'ils sont orthogonaux, et, comme i² = j² = k² =1, on obtient
OA²
= xAxA + yAyA
+ zAzA
OA² = xA² + yA² + zA²
Le
calcul en utilisant la valeur des composantes sera fait plus loin.
Calculons
maintenant le produit scalaire de OA OA
dans un espace à trois dimensions
OA OB = (ixA
+ jyA
+ kzA)(ixB
+ jyB
+ kzB)
= ixAi xB
+ ixAjyB
+ ixAkzB
+ jyAixB
+ jyAjyB
+ jyAkzB
+ kzAixB
+ kzAjyB
+ kzA
kzB
On élimine les membres qui comprennent des vecteurs unité de
noms différents, et, comme i² = j² = k² =1, on obtient
OA OB = xAxB
+ yAyB + zAzB
Il
nous reste à exprimer le produit
scalaire en
fonction de la valeur des composantes
Dans un
espace à deux
dimensions la valeur des composantes est facile à
écrire (xA
= a cos α , yA
= b sin α ..). On remarquera que les
deux composantes xA et yA
s'écrivent en fonction du même angle α. C'est un peu plus difficile
dans
un espace à trois dimensions (Fig. 11)
Fig. 11
Pour
un vecteur
quelconque OB, les projections BBx, BBy et BBz, perpendiculaires à OX,
OY et OZ, définissent les segments OBx, OBy et OBz qui sont
numériquement égaux aux valeurs des modules des composantes xB,
yB
et zB.
(Fig. 11). (BBx, BBy et BBz sont dans les plans Px, Py et
Pz que nous avons tracé
sur la figure).
Comment les calculer ?
OB
fait un angle λ
avec
OX, μ avec OY et ν avec OZ, d'où xB
= b cos λ, yB =
b cos μ , zB
= b cos ν. Ces angles sont quelconques, sans rapport entre
eux. Notons que les composantes s'écrivent avec 3 angles différents.
Pour
OA, nous aurions 3 angles différents, ο ,
π et θ, d'où xA
= a cos ο, yA =
a cos π , zA
= a cos θ.
Le produit scalaire s'écrit
OA OB = a cos
ο b cos λ + a cos π b
cos μ + a cos θ b cos ν = ab (cos ο
cos
λ
+ cos π cos μ
+ cos θ cos ν )
ce qui n'est vraiment pas
enthousiasmant...
L'approche suivante est
beaucoup plus féconde (Fig 12). :
XOY forme un plan
perpendiculaire à OZ. Abaissons la perpendiculaire
AB' sur ce plan et traçons OB', la projection de OB sur le plan
XOY.
Soit β l'angle entre OB et
OB', d'où OB' = b cos β
Soit η l'angle entre OB' et OX. On
a
xB
= OB' cos η = b
cos β cos η
yB
= OB' sin η = b cos β sin η
zB
= b sin β
Les composantes s'écrivent maintenant avec 2 angles
seulement, β et η
Notons qu'à
a place de η, on aurait pu prendre
l'angle entre OB' et OY, qui vaut π/2 - η.
Dans ce cas xB
= OB' sin (π/2 - η)
= b
cos β sin (π/2 - η),
mais comme sin (π/2
- η) = cos η, on retrouve
(heureusement) la même valeur pour xB
. Idem bien sûr pour yB.
Un
plan perpendiculaire au troisième axe (ici XOY) joue ici un rôle
fondamental car c'est sur lui qu'on projette OB
pour avoir OB' et définir l'angle β, et c'est aussi dans ce plan qu'on
définit η (On aurait pu également prendre YOZ ou
ZOX)
Faisons de même pour OA, qui fait un
angle α avec OA' = a cos α (Fig. 12).
Fig. 12
Soit
l'angle γ entre OA et OB et θ l'angle entre OA' et OY .
On
a
xA
= OA' cos θ = a
cos α cos θ
yA
= OA' sin θ = a cos α sin θ
zB
= a sin α
Le produit scalaire s'écrit alors
OA OB
= a cos α cos θ b
cos β cos η + a cos α
sin θ b cos β sin η + a sin α b sin β
= ab (sin α sin β
+ cos α cos θ
cos β cos η + cos α
sin θ cos β sin η)
= ab (sin α sin β +
cos α cos β (cos θ cos η +
sin θ sin η)
OA
OB = a b
cos γ = ab (sin α sin β + cos α
cos β cos (θ - η))
Soit
δ = θ -
η, l'angle entre les projections de OA et OB sur le plan.
On a
cos γ = sin α sin β + cos α
cos β cos δ
qui n'est autre que la formule
fondamentale de la navigation astronomique
Calculons,
nous l'avions annoncé, OA²
= xA² + yA² + zA² en fonction de la
valeur des composantes:
OA²
=
OA² cos² α cos² θ
+ OA² cos² α sin² θ + OA²
sin² α
= OA²
(cos² α cos² θ + cos² α
sin² θ
+ sin² α)
= OA²
(cos² α (cos² θ + sin² θ)
+ sin² α)
Comme cos² θ
+ sin² θ et cos² α
+ sin² α = 1
il reste OA² = OA² qui est le
résultat attendu
8 - Une démonstration
simple, rapide
(et
mémorisable) de la formule de la navigation
astronomique employant la notion de produit scalaire
Soit
OA et OB deux vecteurs
unité (|OA|
= |OB| =1)
pointant vers un lieu sur la Terre et vers le soleil, avec
O au centre de la Terre.(Fig. 13)
Choisissons
un système
d'axe particulier (rendant le calcul simple) tel
que
-
OZ
soit en direction du pôle N,
- la direction du soleil se
projette sur OX,
XOY est donc le plan
équatorial puisqu'il est perpendiculaire à l'axe des pôles et passe par
le centre de la Terre.
Soit A' et B' la
projection de A et B
sur le
plan équatorial XOY.
L'angle BOX noté
DEC est la déclinaison du soleil, supposée connu
L'angle
AOA' noté LAT est la latitude du lieu, supposée connu
L'angle
XOA' noté AH est l'angle horaire (= la différence
d'angle entre la projection de la direction du
soleil sur le plan équatorial et la longitude du lieu),
supposé
connu
On cherche
γ, l'angle entre la direction du zénith du lieu (donné par
OA) et la
direction
du
soleil (donné par OB)
Fig. 13
On
sait qu'en trois dimensions le produit scalaire OA OB = cos
γ
= xA xB
+ yA yB
+ zA zB
Comme yB
= 0 (puisque OB se projette sur OX), cos γ
= xA xB
+ zA zB
On
a
xA
= OA' cos AH = cos Lat cos AH
xB = cos
Dec
zA = sin
Lat
zB = sin
Dec
d'où
cos γ
= cos Lat cos AH cos Dec + sin
Lat sin Dec
Comme
l'horizon
est perpendiculaire au zénith, la hauteur
h du soleil au dessus de
l'horizon sera h = π/2 - γ.
comme sin h = sin(π/2 - γ) =
cos γ
la formule s'écrira
sin h
= cos Lat cos AH cos Dec + sin
Lat sin Dec
Et
voilà le travail !
Retour à la page d'accueil