Vecteurs, produit scalaire et théorème fondamental de la navigation astronomique

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L'emploi des objects mathématiques appelés vecteurs se révèle extraordinairement utile dans les nombreux domaines qui décrivent le monde physique. Utile, mais pas indispensable ! Si savez utiliser les vecteurs, vous maîtriserez un outil performant de représentation et de calcul, mais vous ne saurez rien de plus sur l'origine et la cause des phénomènes physiques que vous voulez décrire. En revanche, mais ce n'est pas notre but ici, vous posséderez un fragment essentiel de culture mathématique.
Pour revenir à des choses concrètes, le calcul vectoriel nous fournira une démonstration rapide (et parfaitement mémorisable) de la formule fondamentale de la navigation astronomique.


1 - Vecteurs

Les vecteurs sont extrêmement utiles pour décrire de manière précise les déplacements. En effet, la seule notion de distance ne suffit pas : si vous dites que vous êtes à 300 m de la mairie de votre ville (une distance par rapport à un point) personne ne peut savoir exactement où vous êtes : vous êtes quelque part sur un cercle de 300 m de rayon autour de la mairie. Il faut bien sûr dans ce cas préciser la direction de la mairie par rapport à votre position (ou l'inverse !). 
Un vecteur est un être mathématiques riche incorporant plusieurs informations :
- une longueur (appelé module), entre 2 'repères'.
- une direction, qui est droite (potentiellement) infini sur laquelle est 'posé' le vecteur
- un sens, qui permet de préciser lequel des repères est l'origine et lequel est l'extrémité.
On représente souvent graphiquement un vecteur par une flèche, qui permet de visualiser facilement ces informations (Fig. 1). Typographiquement, les vecteurs seront en gras : V, AB...  La notation avec un flèche susjacente comme V n'est guère pratique en HTML.
            Vector0
                                                                Fig.1


2 - Somme de vecteurs et équipollence

Il est facile de représenter deux déplacements consécutifs (= successifs) au moyen de deux vecteurs. L'extrémité du premier vecteur est alors l'origine du second. Le déplacement total, le vecteur somme ou résultante, est aussi un vecteur dont l'origine est l'origine du premier vecteur et l'extrémité est l'extrémité du second (Fig. 2)   Vector01      Vectot02
                                                     Fig. 2                                                                                                Fig. 3

Par l'énoncé de cette "recette de calcul" (ou propriété), on commence à donner un sens à l'addition de deux vecteurs, notée algébriquement (= comme en algèbre)
        V1
+ V2 = Résultante.
Bien sûr, vous pouvez appeler la résultante V3, mais dans V1 + V2 = V3, V3 est quand même la résultante de la somme V1 + V2
On a visiblement aussi (fig. 3) (sautant ainsi la démonstration)  V2 + V1 = Résultante = V1 + V2. De manière imagée, on peut commencer la construction graphique de la somme de deux (ou plusieurs) vecteurs consécutifs par n'importe quel vecteur. 
On parle souvent de 'règle du parallélogramme' pour la construction décrite à la fig. 3 (Un parallélogramme est un rectangle "incliné": les côtés (opposés) sont parallèles deux à deux, donc de longueurs égales deux à deux, mais les angles ne sont pas droits).

En physique, les forces semblent avoir des propriétés voisines des vecteurs : les forces ont une magnitude (= grandeur mesurable, l'équivalent du module), une direction et un sens.
Mais deux forces peuvent s'appliquer au même point (d'un objet) (fig. 4). Mais si l'on y pense, c'est également le cas de certains déplacements : un bateau (relativement à un point fixe sur la côte, par exemple) peut se déplacer sous l'effet de la poussée de ses voiles, mais également, et en même temps, sous l'effet d'un courant dans un autre direction.
                                    V1
                                                        Fig. 4

Quelle est la résultante de ces deux forces ou de ces deux mouvements ?
Il y a très longtemps, les physiciens ont fait l'hypothèse que, dans ce type de situation, la résultante est la même que si les deux vecteurs représentant les forces (ou les déplacements) étaient consécutifs, c'est-à-dire placés de manière que l'extrémité du premier soit l'origine du second; conformément à la "recette de calcul" déjà donnée.
Et c'est certainement une 'bonne' hypothèse car, si certains ponts se sont écroulés, les enquêtes n'ont jamais mis en cause cette hypothèse, et puis Apollo 11 a bien atteint la Lune...
                   V2                V3
                                              Fig. 5                                                                            Fig. 6

Dans le jargon mathématique, on dit que les deux vecteurs notés (volontairement) de manière identique V1 et V1 (fig. 5) ou V2 et V2 (fig. 6) sont équipollents. Ils ont même module, même direction, et même sens.
Notez bien que dans la définition d'un vecteur (module, direction et sens), rien ne dit où dans le monde se trouve son origine ou son extrémité. Pour une force qui s'applique à un objet, on peut prendre (un point de) cet objet: c'est commode. Mais nous verrons plus loin que pour une différence de vitesse, cela n'a pas de sens.
En fait, pour faire la somme de deux vecteurs, il faut d'abord choisir arbitrairement un point origine, puis porter les vecteurs en cause de manière à satisfaire la "recette de calcul" : l'extrémité du premier, choisie arbitrairement, doit être l'origine du second, le vecteur somme (la résultante) allant de l'origine du premier à l'extrémité du second.
Voici une manière de penser l'addition de deux vecteurs. Imaginez, empruntez, volez que sais-je.. deux vecteurs, avec leurs caractéristiques. Ils ne sont nulle part en particulier, peut-être dans votre tête seulement. Vous voulez vraiment les additionner ? Oui ? Alors choisissez un point origine. Oui, il FAUT un point origine pour pouvoir faire l'addition. Où ? Mais, n'importe où, c'est pas un problème. Vous en avez choisi un ? Bon, placez à partir de ce point origine des vecteurs équipollents (même module, même direction, même sens) à ceux que vous avez imaginé de manière à respecter la "recette de calcul": l'origine du premier (l'un des eux, au pif, on se dépêche) sur le point que vous avez choisi, l'extrémité du premier comme origine du second. Et bien, vous l'avez, votre résultante ? Oui, c'est ça, un vecteur allant du point origine choisie à l'extrémité du second vecteur. N'oubliez pas de mettre un vecteur équipollent à la résultante là où vous voulez, peut-être dans votre tête, et faites-en bon usage, si vous en êtes capables. Point final.

Peut-on définir un vecteur 'négatif' ? V1-V2 a-t'il un sens?
D'abord on dit vecteur opposé, pas négatif. Reprenons l'exemple de la fig. 1, où V1 + V2 = Résultante.  Par analogie avec l'algèbre, on peut essayer d'écrire V1 = Résultante - V2 = Résultante + (-V2). Définissons maintenent -V2 comme un vecteur qui a même module, même direction, mais un sens contraire à celui de V2, et appliquons la recette (Fig. 7).
                Vector03
                                                                Fig. 7
Bon, en comparant la fig. 2 et la fig. 7, ça a l'air de marcher. Intuitivement V1-V1 = V1 + (-V1) donne O, oui, un (= le, il faudrait le démontrer, mais on laisse ça au vrai matheux) vecteur nul (son module est nul, quant au sens et à la direction, ce n'est pas clair !) car une somme de vecteurs doit donner un résultante qui est un vecteur, c'est dans la définition. C'est logique pour les déplacements, on fait un aller-retour pour se retrouver au point de départ, et pour les forces aussi: on tire avec la même force en sens opposé: ces forces s'annulent.

Il n'est pas idiot de représenter la vitesse (instantanée) d'un objet par un vecteur: une vitesse a en effet un module, une direction et un sens. Il peut paraître pratique d"attacher" ce vecteur à la position de l'objet.  Sur la fig. 14, V1 est la vitesse à l'instant t1 et V2 la vitesse à l'instant t2.  Intuitivement, le vecteur 'variation de vitesse' D entre ces deux instants sera donné par D = V2 - V1: en considérant seulement les modules, si je roulais il y a 10 s ( t1) à 80 km/h (V1), et maintenant ( t2) à 90 km/h (V2), j'ai accéléré de 10 km/h :  D = V2 - V1
Comment interpréter et calculer D ?
Appliquons une règle algébrique : faire passer V1 de l'autre côté du signe égal en changeant son signe conserve la relation , d'où D + V1 = V1 + D = V2. Donc
    D
est le vecteur qu'il faut ajouter à V1 pour que V2 soit la résultante !
(C'est chouette de pouvoir traiter un vecteur commme un être algébrique : ça vaut la peine de définir les "recettes de calcul" qui le permettent)

Comment représenter D ?
                        Soustraction1
                                            Fig. 14                                                        Fig. 15
"Attacher" le vecteur à l'objet a pu sembler une représentation commode. Mais on ne peut pas représenter D sur la figure 14 ! Mais enfin, la "recette de calcul" dit qu'il faut choisir un point O (arbitraire) comme origine du premier vecteur.. etc (fig 15). D est alors évident à tracer. Vous voyez bien qu'il est impossible de tracer D sur la fig. 14 car V1 et V2 n'ont pas même origine! Sur la fig. 15, D est un vecteur équipollent au vecteur 'variation de vitesse' V2 - V1

"Dire qu'un vecteur est trois fois plus grand qu'un autre, ça a un sens ? "
Oui, mais attention, ça n'a de sens que pour des vecteurs qui ont même direction. Si c'est vrai, il suffit que le module de l'un soit trois fois plus grand que celui de l'autre. Si le grand vecteur est V2, on peut écrire V2 = 3V1 (c'est la multiplication d'un vecteur par un scalaire (= un nombre)), mais cela implique de plus que les vecteurs V1 et V2 ont même sens. Si V2 est bien de même direction que V1, mais de sens contraire, il faut écrire V2 = -3V1
Le module du vecteur V se note |V|. Ecrire V2 = 3V1 implique |V2| = 3|V1|.  Ecrire V2 = -3V1 implique |V2| = 3|-V1| (Le module est une longueur, qui ne dépend pas du sens)
Enfin, pour un vecteur V quelconque, on peut définir un vecteur unité (notons le i) de même direction et de même sens que V et de module égal à une unité (|i| = 1) tel que V = |V|i 

Tout ça fait qu'on commence petit à petit à savoir traiter les vecteurs comme les nombres en algèbre, mais avec des "recettes de calcul" (ou propriétés) spécifiques.
Et ce n'est pas fini ...


3 - Le module de la résultante et la notion de produit scalaire

"Bon. Tout ça c'est bien joli, mais je voudrais maintenant savoir calculer la longueur, pardon le module, de la résultante !"
Pour le moment, ce que je peux vous proposer, c'est de traiter le problème comme un problème de géométrie et de trigonométrie.
Deux vecteurs OA et OB définissent un plan, sur lequel se trouve aussi leur résultante (on va admettre ça). Munissons ce plan de deux axes orthonormés (= perpendiculaires et même unité de mesure sur chacun) se coupant en O, qui est le point origine nécessaire pour l'addition.
On peut considérer les deux vecteurs OA et OB et leur résultante OR, comme une figure géométrique, évidemment un triangle et les traiter comme des segments de droite : le module (= la longueur) de OA, |OA|, vaut donc OA, idem pour les autres.

                vector1
                                                Fig. 8

OA fait un angle α avec l'axe horizontal (= l'axe des abscisses) et OB un angle β. Notons que la valeur de ces angles dépend de l'orientation choisie pour les axes. L'angle entre OA et OB vaut donc β - α, mais cette valeur, elle , ne dépend pas de l'orientation des axes !
On prolonge OB vers B'.
l'angle B'BR =  β - α car BR est équipollent à OA, donc BR est parallèle à OA et les angles BOA et B'B'R sont identiques. 
Donc l'angle OBR, qui complète l'angle plat B'BO, vaut  θ = π - (β - α)
On peut maintenant utiliser la loi des cosinus dans le triangle OBR pour calculer la longueur de la résultante OR
OR² = OB² + OA² - 2 OB OA cos θ
or cos θ = cos(π - (β - α)) = cos(π) cos(β - α) + sin(π) sin(β - α) = - cos(β - α)             (car cos(π) = -1 et sin(π) = 0)
d'où
        OR²  = OB² + OA² + 2 OB OA cos (β - α)

(β - α) peut être positif ou négatif (selon que α est plus petit ou plus grand que β )
Mais de toute façon, cos (α - β) = cos(β - α). En effet (α - β) = - (β - α) et cos δ = cos (-δ), d'où cos(α - β) = cos(- (β - α)) = cos(β - α)

Tiens, cette relation a un 'air de famille' avec le second membre de la relation algébrique (X + Y)² = X² + Y² + 2 XY
Bon, vectoriellement OR = OA + OB
Essayons d'écrire 'formellement', c'est-à-dire sans nous préoccuper de la justification de ce que nous écrivons, la valeur 'algébrique' de OR²  
    OR
² = (OA + OB)² = OA² + OB² + 2 OA OB
Comparons avec
    OR²                         = OA² + OB² + 2 OB OA cos (β - α)
Bon, ça se confirme, il y a bien un air de famille certain !

Nous rencontrons pour la première fois des produits de vecteur, OA OB, mais aussi OA OA et OB OB si nous interprétons OA² et OB² comme des produits.

Supposons
maintenant que nous posions, comme définition,
                        OA
OB = OB OA cos δ
                        (où δ est l'angle entre OA et OB)

Ici  δ = β - α. Les derniers termes des deux relations sont maintenant égaux.  
Le produit OA OB serait donc un nombre égal au produit du module de OA (|OA| = OA), du module de OB (|OB| = OB) et du cosinus δ de l'angle entre les vecteurs OA et OB

Mais je ne rève pas !!!! on peut interpréter de la même manière OA², OB² et OR² !!!!!
En effet
    OA² = OA OA = OA OA cos (0), car l'angle entre OA et OA est nul ! cos(0) = 1, d'où OA² = OA²
De même bien sûr, OB² = OB²  et OR² = OR²

Donc, en posant  par définition
            OA
OB = OB OA cos (β - α)
on obtient

     OR² =  OA² + OB² + 2 OA OB = OR² = OA² + OB² + 2 OB OA cos (β - α)

Maaaagique......hein ?
Tu parles qu'on va l'adopter, cette définition !

En math, le produit OA OB est appelé produit scalaire (= produit qui donne un nombre)
NB : il est défini par ailleurs (au moins) un autre produit de vecteurs le produit dit vectoriel noté souvent OA x OB (ou OA ∧ OB), qui n'a rien à voir avec le produit scalaire (il donne un vecteur, pas un nombre) mais qui est bien utile en physique, par exemple dans les histoires de flux à travers une surface.

On peut immédiatement noter une propriété essentielle du produit scalaire.
            Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux (= à angle droit) est nul car l'angle δ entre les deux vecteurs vaut π/2, et cos(π/2) est nul !

Essayons de bien voir ce que nous avons obtenu:
- Nous avons défini un "recette de calcul" pour le produit scalaire : OA OB = OA OB cos δ , δ étant l'angle entre OA et OB
- Nous avons donc une interprétation pour un produit de type AB² : c'est le carré du module de AB, c'est-à-dire |AB
- Plus généralement, nous avions défini jusqu'ici la somme et la différence de deux vecteurs, le vecteur nul, l'opposé, la multiplication d'un vecteur par un scalaire.
Nous venons de définir maintenant le produit scalaire de deux vecteurs (non, on n'a pas défini la division, ça n'a pas de sens), ce qui nous permet de travailler 'algébriquement' sur les vecteurs, comme si c'était des nombres (mais en respectant  les "recettes de calcul" propres)

Nous savons en particulier exprimer ALGEBRIQUEMENT une propriété importante du résultat d'une somme de vecteur, le carré du module de la résultante,
par OR² = |OR|² =  OA² + OB² + 2 OA OB, qui dérive naturellement (= algébriquement) de la relation OR = OA + OB élevée au carré.
(Tout calcul fait avec ces "recettes de calcul", cette valeur est bien sûr identique à celle que l'on obtient par le biais de la géométrie et de la trigonométrie)

"C'est tout ?"
Ben non. Avec le produit scalaire, on va pouvoir maintenant dériver une expression pour la valeur de l'angle entre OA et OB à partir des coordonnées de A et B, ce qui nous donnera une démonstration simplissime de la formule de la navigation astronomique.


4 - Un vecteur comme somme de ses composantes

Il y a deux manières de repérer des points dans un espace. Pour être simple, limitons-nous à un plan (espace à deux dimensions) pour le moment.
- On peut répèrer un point comme l'extrémité d'un vecteur ayant son origine en un point unique donné à l'avance. C'est que nous venons de faire implicitement; Par exemple, à la fig. 8, B est l'extrémité du vecteur OB, A est l'extrémité du vecteur OA. O est unique et donné à l'avance.

- On peut également utiliser une méthode similaire au repérage par latitude et longitude d'un point de la terre.
Chaque point du plan est caractérisé par un couple de valeurs, qui sont les coordonnées de ce point. Pour assigner des coordonnées, il faut se donner un système d'axes: un système pratique utilise deux axes orthonormés se coupant en un point O de coordonnés (0 ; 0). Ces deux axes sont XX' et YY' à la fig. 9. On est libre de choisir l'orientation du système d'axe. Mais le raisonnement sera quelquefois plus simple si on choisit astucieusement un système d'axes particulier.
De plus, on considére que chaque vecteur est la somme de deux vecteurs orthogonaux (appelés composantes du vecteur) dont l'origine est le point O et les directions celles des axes. Chacun de ces deux vecteurs est exprimé comme le produit du vecteur unité (module = 1) et du module du vecteur: V = i|V|.
Concrètement, à la fig. 9, le vecteur OA est la somme des vecteurs ixA et jyA, i et j étant les vecteurs unités sur OX et OY, et xA et yA étant les modules :
        OAixA jyA.
OA faisant un angle α avec OX, et comme |OA| = a, on en déduit immédiatement que xA = a cos α et yA = a sin α. 
Les coordonnées de A sont (xA ; yA) ou encore (a cos α ; a sin α).
                Vector2
                                                    Fig. 9

Il est intéressant de calculer OA² au moyen des ses composantes ixA et jyA : on sait déjà que |OA|² = a²
OA² = (ixA jyA)² = ixA ixA + jyA jyA + 2 ixA jyA
D'après la définition du produit scalaire, comme i et j sont orthogonaux, le dernier terme disparait. De plus, i faisant un angle nul avec lui-même, i i = 1.1 cos 0 = 1 car cos 0 =1 . De même pour j j.
Au total 
        OA² = xA xA + yA yA =  xA²  + yA²
Cette expression est bien, d'après le théorème de Pythagore, le carré de l'hypothénuse a² !

On peut aussi le constater en remplaçant  xA et yA par leurs valeurs a cos α et a sin α
OA² = xA²  + yA² =  a² cos² α + a² sin² α = a² (cos² α + sin² α) = a²                         (car cos² α + sin² α = 1)

Voici donc le moyen de calculer le carré du module d'un vecteur quand on connaît ses composantes.


5 - Somme vectorielle en fonction des composantes

La fig. 10 montre la somme vectorielle OA + OB = OR, avec les mêmes notations qu'à la fig. 9 pour OA et OB.

Vector3
                                                                Fig. 10

OR = OA + OB = (ixA jyA) + (ixB jyB) = i(xA + xB) +  j(y+ yB)
Cette relation nous dit que le vecteur OR a pour composantes iyx = i(xA + xB) et jy= j(y+ yB)
Ceci est vrai. Le triangle rectangle BRR' est construit sur BR, équipolent à OA. Il est égal au triangle OAA'. BR' vaut donc xA. De même RR' est égal à yA.
En termes de valeur des composantes, OR est aussi égal à i(a cos α + b cos β) +  j(a sin α + b cos β), relation sans beaucoup d'intérêt.

Calculons OR² qui doit être égal à OR²
OR² = (OA + OB)²      = (i(xA + xB) +  j(y+ yB))²
                                     = i²(xA + xB)² + j²(y+ yB)² + 2i(xA + xB)j(y+ yB)
Le dernier membre est nul car les vecteurs i et j sont orthogonaux. Comme i² et j² = 1, il reste
OR² = (xA + xB)² + (y+ yB
qui est bien égal à |OR|² = OR²,  le carré de l'hypothénuse d'un triangle dont les côtés valent (xA + xB) et (y+ yB)
On a également
OR²   =  (a cos α + b cos β)² + (a sin α + b sin β)²
           = a² cos² α + b² cos² β + 2 a b cos α cos β + a² sin² α + b² sin² β + 2 a b sin α sin β
            = a² (cos² α + sin² α) + b² (cos² β + sin² β) + 2 ab (cos α cos β + sin α sin β)
            = a²  + b²  + 2 ab cos (α - β)

Nous retrouvons avec plaisir le résultat déjà obtenu plus haut.
Pas d'inquiétude : cos (α - β) = cos(β - α). En effet (α - β) = - (β - α) et cos δ = cos (-δ), d'où cos(α - β) = cos(- (β - α)) = cos(β - α)

Jusqu'ici nous avons retrouvé des relations déjà connues. Mais ce qui suit va justifier le temps passé à lire cette page...


6 - Produit scalaire dans le plan en fonction des composantes

Calculons le produit scalaire OA OB qui est égal, on le sait, à  ab cos (β - α)
OA OB     = (ixA jyA (ixB jyB)
                 = ixixB + ixA jyB jyA ixB + jyA jyB
Comme les membres contenant i et j sont nuls, et que i² et j² = 1, il reste
                OA OB   = xxB yyB
Vérifions qu'il s'agit bien d'un produit scalaire en remplaçant xA par a cos α , yA par a sin α ...
OA OB     = a cos α b cos β + a sin α  b sin β
                  = ab (cos α cos β + sin α  sin β)
                  = ab cos(α - β)

Le produit scalaire prend donc une forme particulièrement simple, fonction des seules composantes des deux vecteurs
                    OA OB   =  ab cos(α - β) = xxB yyB
Comme il s'agit de nombre, on peut écrire
                    cos(α - β) = xxB yyB  / ab
L'angle entre les deux vecteurs OA et OB se calcule donc facilement quand on connaît les composantes et le module des vecteurs.


7 - Produit scalaire dans l'espace à trois dimensions en fonction des composantes

L'intérêt de l'expression du produit scalaire en fonction des composantes est encore plus évident quand on traite de l'angle entre deux vecteurs dans l'espace à trois dimensions.
Dans ce cas, un vecteur a trois composantes, par exemple OA ixA + jyA + kzA. Tous les couples de vecteurs unité sont perpendiculaires sauf ceux de même nom.
Le carré du module de la résultante s'écrit
OA²     = (ixA + jyA + kzA
            = ixAixA + ixAjyA + ixAkzA + jyAixA jyAjyA + jyAkzA kzAixA +  kzAjyAkzAkzA
On élimine les membres qui comprennent des vecteurs unité de noms différents parce ce qu'ils sont orthogonaux, et, comme i² = j²  = k² =1, on obtient
OA²     = xAxAyAyA  + zAzA

            OA
²  = xA² + yA² + zA²


Le calcul en utilisant la valeur des composantes sera fait plus loin.

Calculons maintenant  le produit scalaire de OA OA dans un espace à trois dimensions
OA OB = (ixA + jyA + kzA)(ixB + jyB + kzB)
              = ixAi xB + ixAjyBixAkzB + jyAixB + jyAjyB + jyAkzBkzAixB +  kzAjyBkzA kzB
On élimine les membres qui comprennent des vecteurs unité de noms différents, et, comme i² = j²  = k² =1, on obtient

       OA OB = xAxB  + yAyB + zAzB

Il nous reste à exprimer le produit scalaire en fonction de la valeur des composantes
Dans un espace à deux dimensions la valeur des composantes est facile à écrire (xA =  a cos α , yA =  b sin α ..). On remarquera que les deux composantes xet y s'écrivent en fonction du même angle α. C'est un peu plus difficile dans un espace à trois dimensions (Fig. 11)
        Nav4
                                                                    Fig. 11

Pour un vecteur quelconque OB, les projections BBx, BBy et BBz, perpendiculaires à OX, OY et OZ, définissent les segments OBx, OBy et OBz qui sont numériquement égaux aux valeurs des modules des composantes xB, yB et zB. (Fig. 11). (BBx, BBy et BBz sont dans les plans Px, Py et Pz que nous avons tracé sur la figure).
Comment les calculer ?  
OB fait un angle λ avec OX, μ avec OY et ν avec OZ, d'où xB = b cos λ, yB = b cos μ  , zB = b cos ν. Ces angles sont quelconques, sans rapport entre eux. Notons que les composantes s'écrivent avec 3 angles différents.
Pour OA, nous aurions 3 angles différents, ο , π et θ, d'où xA = a cos ο, yA = a cos π  , zA = a cos θ.
Le produit scalaire s'écrit
OA OB = a cos ο b cos λ + a cos π  b cos μ + a cos θ b cos ν = ab (cos ο cos λ  + cos π cos μ  + cos θ cos ν )
ce qui n'est vraiment pas enthousiasmant...

L'approche suivante est beaucoup plus féconde (Fig 12). :
XOY forme un plan perpendiculaire à OZ. Abaissons la perpendiculaire AB' sur ce plan et traçons OB', la projection de OB sur le plan XOY. 
Soit β l'angle entre OB et OB', d'où OB' = b cos β
Soit η l'angle entre OB' et OX. On a
x
B =  OB' cos η = b cos β cos η
yB = OB' sin η = b cos β sin η
zB = b sin β
Les composantes s'écrivent maintenant avec 2 angles seulement, β et η
Notons qu'à a place de
η, on aurait pu prendre l'angle entre OB' et OY, qui vaut π/2 - η. Dans ce cas  xB =  OB' sin (π/2 - η) =  b cos β sin (π/2 - η), mais comme sin (π/2 - η) = cos η, on retrouve (heureusement) la même valeur pour  xB . Idem bien sûr pour yB.
Un plan perpendiculaire au troisième axe (ici XOY) joue ici un rôle fondamental car c'est sur lui qu'on projette OB pour avoir OB' et définir l'angle β, et c'est aussi dans ce plan qu'on définit η  (On aurait pu également prendre YOZ ou ZOX)

Faisons de même pour OA, qui fait un angle α avec OA' = a cos α  (Fig.  12).
nav3
                                                                    Fig. 12

Soit l'angle γ entre OA et OB et θ l'angle entre OA' et OY .
On a
xA =  OA' cos θ = a cos α cos θ
yA = OA' sin θ = a cos α sin θ
zB = a sin α
Le produit scalaire s'écrit alors
OA OB   = a cos α cos θ b cos β cos η + a cos α sin θ b cos β sin η + a sin α b sin β
                = ab (sin α sin β + cos α cos θ cos β cos η + cos α sin θ cos β sin η)
                = ab (sin α sin β + cos α cos β (cos θ cos η + sin θ sin η)

OA OB    = a b cos γ = ab (sin α sin β + cos α cos β cos (θ - η))


Soit δ = θ - η, l'angle entre les projections de OA et OB sur le plan.
On a
        cos γ = sin α sin β + cos α cos β cos δ

qui n'est autre que la formule fondamentale de la navigation astronomique

Calculons, nous l'avions annoncé, OA² = xA² + yA² + zA² en fonction de la valeur des composantes:
OA²     = OA² cos² α cos² θ +  OA² cos² α sin² θ + OA² sin² α
            = OA² (cos² α cos² θ + cos² α sin² θ + sin² α)
            = OA² (cos² α (cos² θ + sin² θ) + sin² α)
Comme cos² θ + sin² θ et cos² α + sin² α = 1
il reste OA² = OA² qui est le résultat attendu




8 - Une démonstration simple, rapide
(et mémorisable) de la formule de la navigation astronomique employant la notion de produit scalaire

Soit OA et OB deux vecteurs unité (|OA| = |OB| =1) pointant vers un lieu sur la Terre et vers le soleil, avec O au centre de la Terre.(Fig. 13)
Choisissons un système d'axe particulier (rendant le calcul simple) tel que
- OZ soit en direction du pôle N,
- la direction du soleil se projette sur OX,
XOY est donc le plan équatorial puisqu'il est perpendiculaire à l'axe des pôles et passe par le centre de la Terre.
Soit A' et B' la projection de A et B sur le plan équatorial XOY.
L'angle BOX noté DEC est la déclinaison du soleil, supposée connu
L'angle AOA' noté LAT est la latitude du lieu, supposée connu
L'angle XOA' noté AH est l'angle horaire (= la différence d'angle entre la projection de la direction du soleil sur le plan équatorial et la longitude du lieu), supposé connu 
On cherche γ, l'angle entre la direction du zénith du lieu (donné par OA) et la direction du soleil (donné par OB)

Vect1
                                                                                Fig. 13

On sait qu'en trois dimensions le produit scalaire OA OB = cos γ = xA xB + yA yB + zA zB
Comme yB = 0 (puisque OB se projette sur OX),  cos γ = xA xB + zA zB
On a
x
A = OA' cos AH = cos Lat cos AH
xB = cos Dec
zA = sin Lat
zB = sin Dec
d'où
    cos γ = cos Lat cos AH cos Dec + sin Lat sin Dec
Comme l'horizon est perpendiculaire au zénith, la hauteur h du soleil au dessus de l'horizon sera h = π/2 - γ.
        hetg
comme sin h = sin(π/2 - γ) = cos γ
la formule s'écrira
    sin h = cos Lat cos AH cos Dec + sin Lat sin Dec

Et voilà le travail !


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